Потребителски вход

Запомни ме | Регистрация
Постинг
18.09.2017 19:07 - Тайната на математическия ребус 6:2(1+2)
Автор: pitagorid Категория: Забавление   
Прочетен: 41397 Коментари: 16 Гласове:
6

Последна промяна: 28.10.2018 10:42

Постингът е бил сред най-популярни в категория в Blog.bg
Преди известно време в интернет срещнах следната математическа задача:

image

Още от пръв поглед, на база математическите ми познания, без да се замислям изчислих, че отговорът е 1.
После се замислих върху посланието написано отдолу. Как така 92% от хората дават грешен отговор? Та това е доста странно, толкова много хора да не могат да изчислят вярно една елементарна задача. Веднага се сетих, че такива задачи много често публикуват в интернет за да дразнят тези, които не са на „ти” с математиката и не знаят правилото за реда на извършване на аритметичните действия в един аритметичен израз. Че най-напред се извършват действията поставени в скоби, след това се извършват действията умножение и деление и накрая се извършват действията събиране и изваждане. Ако има няколко действия с еднакъв приоритет, каквито най-често са умножението и делението, то действията се извършват по реда на тяхното срещане в израза, винаги отляво на дясно.
Когато обаче погледнах коментарите: О! Ужас! Там се водеше грандиозна дискусия около два отговора 1 и 9. И което беше странното, че хора, които явно са на "ти" с математиката и добре владеят тази материя, упорито настояваха, че верния отговор е 9, а не 1. Това силно ме заинтересува и реших да потърся в Гугъл, какво мисля корифеите по този въпрос.
Просто написах 6:2(1+2) и излязоха стотици сайтове посветени на тази уж "елементарна" задача. Бях поразен. Видях форуми от най-различни страни, където професори и преподаватели по математика се опитваха да убедят "простолюдието", че верния отговор е наистина 9.
Видях клипове в youtube, където в продължение на 5-10 минути се разискваше върху проблема, защо отговорът е 9 а не 1. Даваха се примери с използване на компютърни програми, виртуални компютърни калкулатори, приложения на андроид за GSM и какво ли не още. Някои, които се опитваха да се защитят, че правилния отговор е 1 и то доста аргументирано, бяха просто "анатемосани" от един прочут професор по математика в Кембридж в непознаване на елементарната математика и приетата днес символична нотация на математическите операции. Надълго и нашироко се обясняваше за някакви мнемонически правила в англо говорящите страни, които трябва да се помнят от хората, когато се занимават с математически изчисления. Така например в математическото образование в САЩ се използват мнемоничните символи PEMDAS, които идват от първите букви на следните думи
P=Parentheses,
E=Exponents,
M=Multiplication,
D=Division,
A=Addition и
S=Subtraction.
Преведени на български означават: скоби, експоненти, умножение, деление, събиране и изваждане. Това е всъщност реда на извършване на аритметичните операции в един аритметичен израз с много операнди. В британската общност има друго съчетание от мнемонични символи BODMAS. Тук буквите идват от думите
B=Bracket,
O=Open или Of,
D=Division,
M=Multiplication,
A=Addition и
S=Subtraction.
Не е ясно обаче какво точно се има предвид с буквата О. Какво означава Open или Of. Това предизвика спор между американци и народи от британската общност. Но това не е предмет на днешната тема.
От всичко, което се разбира от огромната дискусия, става ясно че проблемът се върти около реда на извършване на аритметичните операции и начина на интерпретиране на тези две мнемонични съкращения PEMDAS и BODMAS и тълкуването на математическите символи за деление (:) (/) или (: с черта по средата) и символите за умножение (х) (.) (*) или просто, когато този знак не се изписва, като например в израза 2(1+2).
Спорът всъщност се въртеше дали е допустимо знака за деление (:) да се заменя с наклонена черта (/) и дали знака за умножение (х) може да се пропуска като се подразбира. Т.е. дали изразът 2(1+2) е еквивалентен на 2х(1+2). Поради тези спорове в дискусиите надделя мнението, че изразът 6:2(1+2) е "некоректен" и може да се интерпретира по различен начин, което води да дуализъм в отговора, т.е допускат се два различни отговора 1 или 9, в зависимост от това как се интерпретират знаците за аритметични действия и дали умножението е с по-висок приоритет от делението, въпреки че според правилата двете действия имат еднакъв приоритет и действията в този случай се извършват от ляво на дясно.
Като категорично беше мнението, че в днешната математика не е допустимо да се заменя знака за деление (:) с дробна черта (/), защото това води до промяна в условието на задачата. В същото време, замяната на знака за умножение (х) с неговата липса или обратно в изрази като 2(1+2) е напълно оправдана, защото "така е възприето" и не променя нищо.
Така! Всички тези дебати водеха до едно. Поради некоректно изписания израз задачата има две решение според интерпретацията и няма математически проблем, който да е в разрез с математическите правила. Посочва се още, че принципно верният отговор е 9, но се допуска и отговор 1, според някои "по-стари" начини на математическа нотация!?!?
Аз обаче се постарах все пак да открия аджеба, "Къде е заровено кучето?"
След по-задълбочен анализ стигнах до извода, че всъщност никой не вижда истинския проблем, а той стои зад следния въпрос: Какво всъщност представлява изразът, изписан в тази задача? Това "АРИТМЕТИЧЕН" израз ли е или "АЛГЕБРИЧЕН". Някой веднага ще скочи. Че каква е разликата? Това е "МАТЕМАТИЧЕН" израз и всеки който е изучавал математика през последните 50-60 години ще ми се изсмее за този "глупав" въпрос.
Дами и господа!
Колкото и глупаво да ви изглежда, но именно тук се "Крие ключът за бараката!" Затова ще ви изнеса един закъснял урок по математика на всички малки, големи и по-големи деца и възрастни. За да ви покажа някои тайни от математиката, които не ви е преподавал никой през последните 50-60 години.
Преди да започна веднага ще ви кажа:
Математическият израз зададен в тази задача е от раздела АЛГЕБРА, а не от раздела АРИТМЕТИКА.
Някой може учудено да запита: Какво е това АРИТМЕТИКА? Ами това е, което искам да покажа и да докажа: Защо изразът 2(1+2) НЕ Е ЕКВИВАЛЕНТЕН на израза 2х(1+2) и защо има огромна разлика между тях?
Първият е алгебричен израз и има смисъл на рационално ЧИСЛО, изразено с две константи свързани неразделно в група чрез операцията умножение, която се подразбира и винаги има най-висок приоритет. Но затова ще научите по-надолу.
Втория израз е чисто аритметичен и в него участват два оператора (числа) свързани със знак за умножение. Двата оператора се наричат множители, а резултатът се нарича произведение.
Нека да се върна назад във времето за да изясня някои понятия в математиката, които много хора не знаят, не са ги разбрали или не правят разлика между тях.
В началото на XX век и преди това, в началните класове на училищата са се изучавали три предмета: четене, писане и смятане. Да точно. Смятане. През петдесетте години, когато аз бях в първи клас, изучавахме вместо смятане - АРИТМЕТИКА. В по-горните класове започнахме да изучаваме геометрия, алгебра, стереометрия, тригонометрия и в 12 клас изучавахме основите на Висшата математика. В университета пък разбрахме че самата Висша математика има много раздели: линейна алгебра, математически анализ, комбинаторика, теория на вероятностите, дескриптивна геометрия, статистика, теория на числата и т.н. Така че, понятието математика е много общо и ако не се прави разлика между отделните категории, може да се стигне до този прословут проблем, за който стана въпрос в горната задача. Има голяма разлика, дали един математически израз е от категорията Аритметика или Алгебра.
Сега внимавайте!
Елементарната АРИТМЕТИКА се занимава с изучаване на ЕСТЕСТВЕНИТЕ числа и операциите между тях. Това са числата, с които броим. Казваме 1 ябълка, 16 човека, 100 къщи и т.н. В аритметиката се извършват четири аритметични операции. Всяка аритметична операция (или действие) има ДВА оператора. Във всяка аритметична операция участва и знак за аритметичната операция. За събиране знак (+) за изваждане знак (-), за умножение знак (х) и за деление знак (:). Резултатът от операцията се записва след знак за равенство (=). Важно е за се знае, че при събирането и умножението важи така наречения "разместителен закон". При изваждането и делението това НЕ Е вярно. Поради това, че се работи с естествени числа, не е възможно от по-малко число да се извади по-голямо. При делението също има ограничение. Делимото трябва да е такова, че като се раздели на делителя, трябва задължително да се получи цяло число. В Аритметиката НЯМА дробни и отрицателни числа. Понятието НУЛА няма смисъл, защото означава НИЩО. В един аритметичен израз може да участват много оператори свързани чрез знаци за аритметични действия. За да не се получи объркване УСЛОВНО е приета конвенцията, че най-напред се извършват аритметичните действия умножение и деление и след това събиране и изваждане. Ако има няколко действия с еднакъв приоритет, действията се извършват по реда на тяхното изписване отляво надясно. Ако искаме дадено действие - събиране или изваждане - да се извърши преди действията - умножение и деление - е прието да се използват скоби. Скобите имат най-висок приоритет. Трябва дебело да подчертая, защо изписах думата условно с главни букви. Този порядък на извършване на аритметичните действия НЕ Е математически закон. Това е СПОРАЗУМЕНИЕ (конвенция) между древните математици и се е превърнало в ПРАВИЛО, което важи и до днес. Това правило се прилага и в съвременната методология при преподаване на математика и никой не бива да се опитва да го променя.
Ето това изучава елементарната аритметика и точно така сме я изучавали в Първи клас. По-нататък елементарната аритметика се доразвива така, че действието изваждане да е възможно винаги. Затова се въвеждат отрицателните числа, включително и нулата.
А за да е възможно действието деление с произволни числа, се въвежда понятието дробно число и се появява знака дробна черта (/).
Сега отново искам за заостря вашето внимание.
Защо дробната черта (/) НЕ Е знак за деление (:) и двата знака НЕ СА взаимно заменяеми? Защото при действието деление участват два оператора Делител и Делимо, свързани с аритметичната операция деление. Дробното число е ЧИСЛО, получено чрез разделяне на две други числа, но винаги това деление е неразделно свързано с тези числа в ГРУПА и има по-висок приоритет от аритметичните действия умножение или деление.
Разбрахте ли РАЗЛИКАТА?!
С въвеждането на отрицателните и дробните числа, АРИТМЕТИКАТА преминава в раздела от математиката, наречен АЛГЕБРА.
ВАЖНО! Алгебрата вече работи не с естествените числа, а с така нареченото множество на рационалните числа. Освен с рационални числа, по-нататък алгебрата започва да работи и с още няколко категории числа: множеството на ирационалните и трансцендентните числа, които заедно с рационалните числа образуват множеството на реалните числа. На още по-късен етап се появяват и още един вид числа, така наречените имагинерни или комплексни числа и всичко това оформя множеството на алгебричните числа.
Прекратявам да ви занимавам с числата, защото май станах доста скучен. Затова ще обясня още нещо много важно, свързано с Алгебрата.
Основно понятие в алгебрата се явява така наречената ПРОМЕНЛИВА. Променливата е ЧИСЛО, което може в един алгебричен израз да приема произволна стойност. Освен понятието променлива, се въвежда и още едно - КОНСТАНТА. Константата пък е ЧИСЛО, което в даден алгебричен израз винаги приема точно определена и неизменяема числена стойност. Константите могат да бъдат всички реални числа, а така също изрази от числа , обградени със скоби, Към константите влизат също и специални математически или физически константи, например числото (ПИ) или ирационален числов израз под знак за корен и т.н.
Много важно е да се разбере, че преди да се извършват каквито и за било аритметични действия в един алгебричен израз, първо трябва на всички променливи и константи да се дадат конкретни числени стойности.
Друго МНОГО важно понятие в Алгебрата е така наречения ТЕРМИН. Терминът е ЧИСЛО, образувано от две или повече променливи и константи, обединени в една устойчива група чрез математическите действия умножение и деление, които се извършват в групата по подразбиране и винаги имат по-висок приоритет от аритметичните операции умножение или деление. Трябва да подчертая, че понятието ТЕРМИН или ГРУПА е доста трудно за разбиране, защото в съвременното преподаване на математика, не се дава точна дефиниция на това понятие и то се размива между всички други понятия, като нещо което се приема по подразбиране и не е необходимо да се дефинира.
Примери за термин (или група) са: 2А, 15/(2+5), 2П, 6/2(1+2), 2(Х+2)(5Х-10)
Още във втори клас на малките ученици се обяснява какво е неизвестно (Х) и работа с изрази от вида 2Х или 5A и по-нататък, когато се стигне до изрази от вида 2(Х+2)(5Х-10,) никой не се запитва какво точно представлява този израз, но учениците вече знаят, че първо трябва да се РАЗКРИЯТ скобите. Това е алгебрична група, а не аритметичен израз.
Мисля, че това, което изясних по-горе ще стане ясно за мнозина, които са на „ти” с математиката и вече като видят израз подобен на описания в задачата ще знаят, че изразът 2(1+2) е алгебрична група съставена от две числени константи едната от които е числото пред скобите 2, а другата е числената стойност на израза в скобите, в случая 1+2=3. Тази група има най-висок приоритет и трябва да се третира като ЧИСЛО, а не като два аритметични оператора свързани със знак за умножение (х).
Ето защо добавянето на знак за умножение между числото 2 и скобите е математически НЕДОПУСТИМО, защото променя условието на задачата. Ако авторът на задачата е искал да се случи точно това, е трябвало изрично да постави знак за умножение ето така 2х(1+2), а не да се уповава на приетото уж по премълчаване погрешно схващане, че липсата на знак за умножение е еквивалентно на наличието на такъв знак.
Извинявам се на господата професори на толкова престижни университети, но явно и те са жертва на съвременната методология на преподаване на математика, където тези фундаментални познания или се игнорират или се подценяват и не се прави разлика между елементарна аритметика и алгебра.
Накрая още един малък коментар.
Защо съвременните компютърни програми и виртуални калкулатори все пак дават като резултат числото 9?
Отговорът е пределно ясен. Защото всички тези електронни таблици и виртуални калкулатори работят с ЧИСЛА и аритметична логика и когато срещнат алгебрична група от две константи, те я интерпретират като аритметичен израз от две числа и резултатът е на лице - грешен отговор. За да се избегнат тези недоразумения, човекът е този, който трябва изрично да каже на машината, какво иска от нея. И да не се скъпи да използва повече вложени скоби, за да покаже на машината точно какви са неговите намерения.
Като пример ще ви посоча програмата Excel. Ако се опитате да въведете в някоя клетка формулата на задачата, точно така както е изписана в нашето условие, то с въвеждането на скобата след 2, програмата автоматично ще постави знака * и ще ви посочи, че допускате синтактична грешка и ще ви попита дали наистина имате предвид точно това или трябва да поставите допълнително още един брой скоби ето така 6:(2*(1+2)). Същият проблем ще имате и когато работите с вградения калкулатор на Windows. И той автоматично ще постави знак за умножение след 2. Много от виртуалните калкулатори в смартфоните страдат от същия проблем. Така че внимавайте, какво искате и какво действително въвеждате. Компютрите не са виновни. Виновен е човекът, който работи с тях.
Интересното е, че истинските (не виртуалните) калкулатори на фирмата CASIO, които програмно притежават алгебрични функции, автоматично разпознават изрази като 2(1+2) и 2х(1+2) и правят разлика между тях, което много учени професори не "забелязват".

image

image

Обръщам внивание, че в тези калкулатори като знак за деление се използва наклонена черта, както се вижда от клавиатурата. Като знак за дробно число се използва друг знак, който в математиката не се използва.

За да бъда още по убедителен ето един много мощен калкулатор за смартфон (можете да си го свалите от Google play - Calculus calculator&Solve for x ti-36 ti-84 Plus).

image

За разлика от мното други калкулатори за смартфони, този наистина работи с алгебрична логика и както калкулаторите на CASIO прави разлика между 2х(1+2) и 2(1+2). Всъщност това е емулатор на калкулаторите на Texas Instruments TI-36 и TI-84

Ето екранна снимка, която демонстрира това:

image

Искам още веднъж да се извиня на многото преподаватели по математика, студенти, доценти и професори, че трябваше с "думи прости" да обясня вместо тях на обикновените хора, някои от "тайните" на математика, които не се преподават днес в училище, защото от шестдесетте години на 20 век в българското училище се преподава МАТЕМАТИКА в един кюп и понятията смятане или аритметика изобщо се считат като отживелица и в резултат, това става повод за такива разгорещени дебати в интернет и социалните мрежи, където и видни капацитети на математиката стават жертва на една толкова безобидна провокация.

С поздрави
инж. Иван Иванов
Ако на някой все още не му е станало ясно за какво става въпрос, си остава за негова сметка, колкото и наивно да звучи това!!
Все пак ако някой желае да даде коментар, тъй като блога не допуска коментари от анонимни, то нека ми пише на електронния адрес:
ivan.pitagor@gmail.com





Гласувай:
7
1



1. barin - Здравей, pitagorid. Мисля, че т...
26.09.2017 06:01
Здравей, pitagorid. Мисля, че трябва да бъде 9 отговора.
цитирай
2. pitagorid - barin
26.09.2017 16:06
Ами щом мислиш така, аз нищо повече не мога да кажа. Хиляди хора мислят като теб. Дори професори. Това е твой личен избор и си остава за твоя сметка, колкото и наивно да звучи.
цитирай
3. nedovolen - 1
26.09.2017 17:45
То отговора е ясен като бял ден, без да навлизам из калкулаторите и пространното обяснение.
Доказал го е още Иванчо /не автора, а от вица/:
- Другарко, 2+2 не винаги е =4
- Винаги е равно, Иванчо
- Добре, все едно ли е да кажа другарко, да мина да ви взема, или другарко, да взема да ви мина :)))
цитирай
4. shveik5 - Поздравления за положения труд,
02.10.2017 22:16
за търсенето и за поднесения ни като на тепсия изчерпателен и задълбочен анализ. Не всеки ще изнесе такава лекция на висотата на дълбоките познания в областта на математиката. Само буден човек , който гори в професията си!
цитирай
5. ajeliazkov - Една забележка
17.10.2017 08:53
Според мен сте обърнали словореда на „Делимо“ и „Делител“.
Написали сте:
„Делителят трябва да е такъв, че като се раздели на делимото трябва задължително да се получи цяло число.“
Мисля, че правилното е:
„Делимото трябва да е такова, че като се раздели на делителя трябва задължително да се получи цяло число.“


цитирай
6. pitagorid - 5. ajeliazkov
19.10.2017 16:01
Благодаря за забележката.Вие сте прав
цитирай
7. lubara - Поздрави!
20.01.2018 15:38
Едно, разбира се. Много труд си хвърлил да обясняваш, не мога като теб.
цитирай
8. estoyanovvd - За съжаление
30.09.2018 18:50
Правилно сте разбрали разликата между действието деление и знака за дробна черта. Дробната черта също означава деление, но на това, което е в числителя на това, което е в знаменателя и ако дробта не е изписана като хоризонтална черта с числител над нея и знаменател под нея, а с наклонена черта, то задължително е да сложите числителя и знаменателя в скоби, защото в противен случай не се разбира, че става въпрос за дроб, а както е във въпросния пример, просто за действието деление на числото пред знака на числото след знака. Така че, съжалявам за труда, който сте хвърлили за да обясните какво е едночлен (не Термин) и т.н. 2Х не е същото като 2(1+2). Първото е алгебра, наистина, но второто си е чиста аритметика. Просто в случая няма скоби, които да определят знаменателя и отговорът 9.
цитирай
9. pitagorid - г-н Емил Стоянов
30.09.2018 19:18
Ако сте математик, аз също съжалявам за Вас. Защото сте жертва на тази математическа провокация. Показах ви снимки, в които калкулатора категорично прави разлика между двата вида изписване 2(1+2) и 2х(1+2). Аз използвам един много популярен израз, когато не искам да споря. "Господине Вие сте АБСОЛЮТНО прав!)
Така че щом така мислите, значи израза НАИСТИНА е равен на 9 (девет) :)
цитирай
10. estoyanovvd - http://www. wolframalpha/inp...
30.09.2018 20:16
http://www.wolframalpha/input/?i=6%2F2(1%2B2)%3Dx
цитирай
11. estoyanovvd - http://www. wolframalpha/inp...
30.09.2018 20:17
http://www.wolframalpha/input/?i=6%2F2*(1%2B2)%3Dx
цитирай
12. estoyanovvd - С риск да Ви обидя, калкулаторите са ...
30.09.2018 20:22
С риск да Ви обидя, калкулаторите са за инжинери. :)
цитирай
13. secretary - До г-н Е.Стоянов
25.10.2018 21:10
estoyanovvd написа:
http://wwwha/input/?i=6%2F2(1%2B2)%3Dx


Неправилно сте въвели израза за изчисление във Волфрам алфа. По начина, по който сте го въвели, излиза, че 6/2 се умножава с 1+2
цитирай
14. pitagorid - estoyanovvd - С риск да Ви обидя, калкулаторите са ...
28.10.2018 10:57
Г-н Стоянов
Аз не се обиждам от хора, които не са разбрали за какво става дума.
Вие се базирате на wolframalfa, но когато пишете нещо внимавайте какво пишете.
Трябва да попитате програмата така:
6:2(1+2)=х
а не така
6/2(1+2)=х
Вижте точно как е зададена задачата в условието, а не да ми говорите за дробни черти и деление. Трябва да знаете, че инженерите разбират повече от математика от математиците, защото я употребяват на практика, а не само теоретично. И недейте да обиждате калкулаторите на Casio.
цитирай
15. batstefan - Според вас
29.12.2019 19:10
Ако израза беше 6:2х(1+2), отговора щеше да е 9?
цитирай
16. dmiteff - Благодаря за изчерпателната ин...
01.01 16:37
Благодаря за изчерпателната информация! Имах някакъв блед спомен, за разликата от двата примера 2(1+2) и 2х(2+1) и затова решх да проверя и попаднах на Вашата изключително интересна, полезна и приятно обяснена лекция. Относно дробната черта, си спомням, че учехме, че е деление в скоби и следователно е приоритетно пред обикновеното деление. Весела 2020 година!
цитирай
Търсене

За този блог
Автор: pitagorid
Категория: Други
Прочетен: 2842710
Постинги: 158
Коментари: 1054
Гласове: 3818
Календар
«  Септември, 2020  
ПВСЧПСН
123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
282930