Потребителски вход

Запомни ме | Регистрация
Постинг
18.09.2017 19:07 - Тайната на математическия ребус 6:2(1+2)
Автор: pitagorid Категория: Забавление   
Прочетен: 2473 Коментари: 7 Гласове:
6

Последна промяна: 12.06 16:00

Постингът е бил сред най-популярни в категория в Blog.bg
Преди известно време в интернет срещнах следната математическа задача:

image

Още от пръв поглед, на база математическите ми познания, без да се замислям изчислих, че отговорът е 1.
После се замислих върху посланието написано отдолу. Как така 92% от хората дават грешен отговор? Та това е доста странно, толкова много хора да не могат да изчислят вярно една елементарна задача. Веднага се сетих, че такива задачи много често публикуват в интернет за да дразнят тези, които не са на „ти” с математиката и не знаят правилото за реда на извършване на аритметичните действия в един аритметичен израз. Че най-напред се извършват действията поставени в скоби, след това се извършват действията умножение и деление и накрая се извършват действията събиране и изваждане. Ако има няколко действия с еднакъв приоритет, каквито най-често са умножението и делението, то действията се извършват по реда на тяхното срещане в израза, винаги отляво на дясно.
Когато обаче погледнах коментарите: О! Ужас! Там се водеше грандиозна дискусия около два отговора 1 и 9. И което беше странното, че хора, които явно са на "ти" с математиката и добре владеят тази материя, упорито настояваха, че верния отговор е 9, а не 1. Това силно ме заинтересува и реших да потърся в Гугъл, какво мисля корифеите по този въпрос.
Просто написах 6:2(1+2) и излязоха стотици сайтове посветени на тази уж "елементарна" задача. Бях поразен. Видях форуми от най-различни страни, където професори и преподаватели по математика се опитваха да убедят "простолюдието", че верния отговор е наистина 9.
Видях клипове в youtube, където в продължение на 5-10 минути се разискваше върху проблема, защо отговорът е 9 а не 1. Даваха се примери с използване на компютърни програми, виртуални компютърни калкулатори, приложения на андроид за GSM и какво ли не още. Някои, които се опитваха да се защитят, че правилния отговор е 1 и то доста аргументирано, бяха просто "анатемосани" от един прочут професор по математика в Кембридж в непознаване на елементарната математика и приетата днес символична нотация на математическите операции. Надълго и нашироко се обясняваше за някакви мнемонически правила в англо говорящите страни, които трябва да се помнят от хората, когато се занимават с математически изчисления. Така например в математическото образование в САЩ се използват мнемоничните символи PEMDAS, които идват от първите букви на следните думи
P=Parentheses,
E=Exponents,
M=Multiplication,
D=Division,
A=Addition и
S=Subtraction.
Преведени на български означават: скоби, експоненти, умножение, деление, събиране и изваждане. Това е всъщност реда на извършване на аритметичните операции в един аритметичен израз с много операнди. В британската общност има друго съчетание от мнемонични символи BODMAS. Тук буквите идват от думите
B=Bracket,
O=Open или Of,
D=Division,
M=Multiplication,
A=Addition и
S=Subtraction.
Не е ясно обаче какво точно се има предвид с буквата О. Какво означава Open или Of. Това предизвика спор между американци и народи от британската общност. Но това не е предмет на днешната тема.
От всичко, което се разбира от огромната дискусия, става ясно че проблемът се върти около реда на извършване на аритметичните операции и начина на интерпретиране на тези две мнемонични съкращения PEMDAS и BODMAS и тълкуването на математическите символи за деление (:) (/) или (: с черта по средата) и символите за умножение (х) (.) (*) или просто, когато този знак не се изписва, като например в израза 2(1+2).
Спорът всъщност се въртеше дали е допустимо знака за деление (:) да се заменя с наклонена черта (/) и дали знака за умножение (х) може да се пропуска като се подразбира. Т.е. дали изразът 2(1+2) е еквивалентен на 2х(1+2). Поради тези спорове в дискусиите надделя мнението, че изразът 6:2(1+2) е "некоректен" и може да се интерпретира по различен начин, което води да дуализъм в отговора, т.е допускат се два различни отговора 1 или 9, в зависимост от това как се интерпретират знаците за аритметични действия и дали умножението е с по-висок приоритет от делението, въпреки че според правилата двете действия имат еднакъв приоритет и действията в този случай се извършват от ляво на дясно.
Като категорично беше мнението, че в днешната математика не е допустимо да се заменя знака за деление (:) с дробна черта (/), защото това води до промяна в условието на задачата. В същото време, замяната на знака за умножение (х) с неговата липса или обратно в изрази като 2(1+2) е напълно оправдана, защото "така е възприето" и не променя нищо.
Така! Всички тези дебати водеха до едно. Поради некоректно изписания израз задачата има две решение според интерпретацията и няма математически проблем, който да е в разрез с математическите правила. Посочва се още, че принципно верният отговор е 9, но се допуска и отговор 1, според някои "по-стари" начини на математическа нотация!?!?
Аз обаче се постарах все пак да открия аджеба, "Къде е заровено кучето?"
След по-задълбочен анализ стигнах до извода, че всъщност никой не вижда истинския проблем, а той стои зад следния въпрос: Какво всъщност представлява изразът, изписан в тази задача? Това "АРИТМЕТИЧЕН" израз ли е или "АЛГЕБРИЧЕН". Някой веднага ще скочи. Че каква е разликата? Това е "МАТЕМАТИЧЕН" израз и всеки който е изучавал математика през последните 50-60 години ще ми се изсмее за този "глупав" въпрос.
Дами и господа!
Колкото и глупаво да ви изглежда, но именно тук се "Крие ключът за бараката!" Затова ще ви изнеса един закъснял урок по математика на всички малки, големи и по-големи деца и възрастни. За да ви покажа някои тайни от математиката, които не ви е преподавал никой през последните 50-60 години.
Преди да започна веднага ще ви кажа:
Математическият израз зададен в тази задача е от раздела АЛГЕБРА, а не от раздела АРИТМЕТИКА.
Някой може учудено да запита: Какво е това АРИТМЕТИКА? Ами това е, което искам да покажа и да докажа: Защо изразът 2(1+2) НЕ Е ЕКВИВАЛЕНТЕН на израза 2х(1+2) и защо има огромна разлика между тях?
Първият е алгебричен израз и има смисъл на рационално ЧИСЛО, изразено с две константи свързани неразделно в група чрез операцията умножение, която се подразбира и винаги има най-висок приоритет. Но затова ще научите по-надолу.
Втория израз е чисто аритметичен и в него участват два оператора (числа) свързани със знак за умножение. Двата оператора се наричат множители, а резултатът се нарича произведение.
Нека да се върна назад във времето за да изясня някои понятия в математиката, които много хора не знаят, не са ги разбрали или не правят разлика между тях.
В началото на XX век и преди това, в началните класове на училищата са се изучавали три предмета: четене, писане и смятане. Да точно. Смятане. През петдесетте години, когато аз бях в първи клас, изучавахме вместо смятане - АРИТМЕТИКА. В по-горните класове започнахме да изучаваме геометрия, алгебра, стереометрия, тригонометрия и в 12 клас изучавахме основите на Висшата математика. В университета пък разбрахме че самата Висша математика има много раздели: линейна алгебра, математически анализ, комбинаторика, теория на вероятностите, дескриптивна геометрия, статистика, теория на числата и т.н. Така че, понятието математика е много общо и ако не се прави разлика между отделните категории, може да се стигне до този прословут проблем, за който стана въпрос в горната задача. Има голяма разлика, дали един математически израз е от категорията Аритметика или Алгебра.
Сега внимавайте!
Елементарната АРИТМЕТИКА се занимава с изучаване на ЕСТЕСТВЕНИТЕ числа и операциите между тях. Това са числата, с които броим. Казваме 1 ябълка, 16 човека, 100 къщи и т.н. В аритметиката се извършват четири аритметични операции. Всяка аритметична операция (или действие) има ДВА оператора. Във всяка аритметична операция участва и знак за аритметичната операция. За събиране знак (+) за изваждане знак (-), за умножение знак (х) и за деление знак (:). Резултатът от операцията се записва след знак за равенство (=). Важно е за се знае, че при събирането и умножението важи така наречения "разместителен закон". При изваждането и делението това НЕ Е вярно. Поради това, че се работи с естествени числа, не е възможно от по-малко число да се извади по-голямо. При делението също има ограничение. Делимото трябва да е такова, че като се раздели на делителя, трябва задължително да се получи цяло число. В Аритметиката НЯМА дробни и отрицателни числа. Понятието НУЛА няма смисъл, защото означава НИЩО. В един аритметичен израз може да участват много оператори свързани чрез знаци за аритметични действия. За да не се получи объркване УСЛОВНО е приета конвенцията, че най-напред се извършват аритметичните действия умножение и деление и след това събиране и изваждане. Ако има няколко действия с еднакъв приоритет, действията се извършват по реда на тяхното изписване отляво надясно. Ако искаме дадено действие - събиране или изваждане - да се извърши преди действията - умножение и деление - е прието да се използват скоби. Скобите имат най-висок приоритет. Трябва дебело да подчертая, защо изписах думата условно с главни букви. Този порядък на извършване на аритметичните действия НЕ Е математически закон. Това е СПОРАЗУМЕНИЕ (конвенция) между древните математици и се е превърнало в ПРАВИЛО, което важи и до днес. Това правило се прилага и в съвременната методология при преподаване на математика и никой не бива да се опитва да го променя.
Ето това изучава елементарната аритметика и точно така сме я изучавали в Първи клас. По-нататък елементарната аритметика се доразвива така, че действието изваждане да е възможно винаги. Затова се въвеждат отрицателните числа, включително и нулата.
А за да е възможно действието деление с произволни числа, се въвежда понятието дробно число и се появява знака дробна черта (/).
Сега отново искам за заостря вашето внимание.
Защо дробната черта (/) НЕ Е знак за деление (:) и двата знака НЕ СА взаимно заменяеми? Защото при действието деление участват два оператора Делител и Делимо, свързани с аритметичната операция деление. Дробното число е ЧИСЛО, получено чрез разделяне на две други числа, но винаги това деление е неразделно свързано с тези числа в ГРУПА и има по-висок приоритет от аритметичните действия умножение или деление.
Разбрахте ли РАЗЛИКАТА?!
С въвеждането на отрицателните и дробните числа, АРИТМЕТИКАТА преминава в раздела от математиката, наречен АЛГЕБРА.
ВАЖНО! Алгебрата вече работи не с естествените числа, а с така нареченото множество на рационалните числа. Освен с рационални числа, по-нататък алгебрата започва да работи и с още няколко категории числа: множеството на ирационалните и трансцендентните числа, които заедно с рационалните числа образуват множеството на реалните числа. На още по-късен етап се появяват и още един вид числа, така наречените ирационални или комплексни числа и всичко това оформя множеството на алгебричните числа.
Прекратявам да ви занимавам с числата, защото май станах доста скучен. Затова ще обясня още нещо много важно, свързано с Алгебрата.
Основно понятие в алгебрата се явява така наречената ПРОМЕНЛИВА. Променливата е ЧИСЛО, което може в един алгебричен израз да приема произволна стойност. Освен понятието променлива, се въвежда и още едно - КОНСТАНТА. Константата пък е ЧИСЛО, което в даден алгебричен израз винаги приема точно определена и неизменяема числена стойност. Константите могат да бъдат всички реални числа, а така също изрази от числа , обградени със скоби, Към константите влизат също и специални математически или физически константи, например числото (ПИ) или ирационален числов израз под знак за корен и т.н.
Много важно е да се разбере, че преди да се извършват каквито и за било аритметични действия в един алгебричен израз, първо трябва на всички променливи и константи да се дадат конкретни числени стойности.
Друго МНОГО важно понятие в Алгебрата е така наречения ТЕРМИН. Терминът е ЧИСЛО, образувано от две или повече променливи и константи, обединени в една устойчива група чрез математическите действия умножение и деление, които се извършват в групата по подразбиране и винаги имат по-висок приоритет от аритметичните операции умножение или деление. Трябва да подчертая, че понятието ТЕРМИН или ГРУПА е доста трудно за разбиране, защото в съвременното преподаване на математика, не се дава точна дефиниция на това понятие и то се размива между всички други понятия, като нещо което се приема по подразбиране и не е необходимо да се дефинира.
Примери за термин (или група) са: 2А, 15/(2+5), 2П, 6/2(1+2), 2(Х+2)(5Х-10)
Още във втори клас на малките ученици се обяснява какво е неизвестно (Х) и работа с изрази от вида 2Х или 5A и по-нататък, когато се стигне до изрази от вида 2(Х+2)(5Х-10,) никой не се запитва какво точно представлява този израз, но учениците вече знаят, че първо трябва да се РАЗКРИЯТ скобите. Това е алгебрична група, а не аритметичен израз.
Мисля, че това, което изясних по-горе ще стане ясно за мнозина, които са на „ти” с математиката и вече като видят израз подобен на описания в задачата ще знаят, че изразът 2(1+2) е алгебрична група съставена от две числени константи едната от които е числото пред скобите 2, а другата е числената стойност на израза в скобите, в случая 1+2=3. Тази група има най-висок приоритет и трябва да се третира като ЧИСЛО, а не като два аритметични оператора свързани със знак за умножение (х).
Ето защо добавянето на знак за умножение между числото 2 и скобите е математически НЕДОПУСТИМО, защото променя условието на задачата. Ако авторът на задачата е искал да се случи точно това, е трябвало изрично да постави знак за умножение ето така 2х(1+2), а не да се уповава на приетото уж по премълчаване погрешно схващане, че липсата на знак за умножение е еквивалентно на наличието на такъв знак.
Извинявам се на господата професори на толкова престижни университети, но явно и те са жертва на съвременната методология на преподаване на математика, където тези фундаментални познания или се игнорират или се подценяват и не се прави разлика между елементарна аритметика и алгебра.
Накрая още един малък коментар.
Защо съвременните компютърни програми и виртуални калкулатори все пак дават като резултат числото 9?
Отговорът е пределно ясен. Защото всички тези електронни таблици и виртуални калкулатори работят с ЧИСЛА и аритметична логика и когато срещнат алгебрична група от две константи, те я интерпретират като аритметичен израз от две числа и резултатът е на лице - грешен отговор. За да се избегнат тези недоразумения, човекът е този, който трябва изрично да каже на машината, какво иска от нея. И да не се скъпи да използва повече вложени скоби, за да покаже на машината точно какви са неговите намерения.
Като пример ще ви посоча програмата Excel. Ако се опитате да въведете в някоя клетка формулата на задачата, точно така както е изписана в нашето условие, то с въвеждането на скобата след 2, програмата автоматично ще постави знака * и ще ви посочи, че допускате синтактична грешка и ще ви попита дали наистина имате предвид точно това или трябва да поставите допълнително още един брой скоби ето така 6:(2*(1+2)). Същият проблем ще имате и когато работите с вградения калкулатор на Windows. И той автоматично ще постави знак за умножение след 2. Много от виртуалните калкулатори в смартфоните страдат от същия проблем. Така че внимавайте, какво искате и какво действително въвеждате. Компютрите не са виновни. Виновен е човекът, който работи с тях.
Интересното е, че истинските (не виртуалните) калкулатори на фирмата CASIO, които програмно притежават алгебрични функции, автоматично разпознават изрази като 2(1+2) и 2х(1+2) и правят разлика между тях, което много учени професори не "забелязват".

image

image

Обръщам внивание, че в тези калкулатори като знак за деление се използва наклонена черта, както се вижда от клавиатурата. Като знак за дробно число се използва друг знак, който в математиката не се използва.
Искам още веднъж да се извиня на многото преподаватели по математика, студенти, доценти и професори, че трябваше с "думи прости" да обясня вместо тях на обикновените хора, някои от "тайните" на математика, които не се преподават днес в училище, защото от шестдесетте години на 20 век в българското училище се преподава МАТЕМАТИКА в един кюп и понятията смятане или аритметика изобщо се считат като отживелица и в резултат, това става повод за такива разгорещени дебати в интернет и социалните мрежи, където и видни капацитети на математиката стават жертва на една толкова безобидна провокация.
С поздрави
инж. Иван Иванов
Ако на някой все още не му е станало ясно за какво става въпрос, си остава за негова сметка, колкото и наивно да звучи това!!
Все пак ако някой желае да даде коментар, тъй като блога не допуска коментари от анонимни, то нека ми пише на електронния адрес:
ivan.pitagor@gmail.com





Гласувай:
6
0



1. barin - Здравей, pitagorid. Мисля, че т...
26.09.2017 06:01
Здравей, pitagorid. Мисля, че трябва да бъде 9 отговора.
цитирай
2. pitagorid - barin
26.09.2017 16:06
Ами щом мислиш така, аз нищо повече не мога да кажа. Хиляди хора мислят като теб. Дори професори. Това е твой личен избор и си остава за твоя сметка, колкото и наивно да звучи.
цитирай
3. nedovolen - 1
26.09.2017 17:45
То отговора е ясен като бял ден, без да навлизам из калкулаторите и пространното обяснение.
Доказал го е още Иванчо /не автора, а от вица/:
- Другарко, 2+2 не винаги е =4
- Винаги е равно, Иванчо
- Добре, все едно ли е да кажа другарко, да мина да ви взема, или другарко, да взема да ви мина :)))
цитирай
4. shveik5 - Поздравления за положения труд,
02.10.2017 22:16
за търсенето и за поднесения ни като на тепсия изчерпателен и задълбочен анализ. Не всеки ще изнесе такава лекция на висотата на дълбоките познания в областта на математиката. Само буден човек , който гори в професията си!
цитирай
5. ajeliazkov - Една забележка
17.10.2017 08:53
Според мен сте обърнали словореда на „Делимо“ и „Делител“.
Написали сте:
„Делителят трябва да е такъв, че като се раздели на делимото трябва задължително да се получи цяло число.“
Мисля, че правилното е:
„Делимото трябва да е такова, че като се раздели на делителя трябва задължително да се получи цяло число.“


цитирай
6. pitagorid - 5. ajeliazkov
19.10.2017 16:01
Благодаря за забележката.Вие сте прав
цитирай
7. lubara - Поздрави!
20.01 15:38
Едно, разбира се. Много труд си хвърлил да обясняваш, не мога като теб.
цитирай
Търсене

За този блог
Автор: pitagorid
Категория: Други
Прочетен: 2411348
Постинги: 158
Коментари: 1041
Гласове: 3797
Календар
«  Юли, 2018  
ПВСЧПСН
1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031